Question

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．试求点H的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要求椭圆方程，只需求出a，b的值，由椭圆的离心率为，知，，由椭圆上的点到焦点的最小距离为1，可知，a-c=1，再根据a²=b²+c²，就可求出a，b得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）设出A，B点的坐标，直线l方程，再令直线l方程与椭圆方程联立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根据且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．用x₁，x₂表示H点坐标，把参数消掉，即可得到点H的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意知：，a-c=1，a²=b²+c²，解得a=2，b²=3．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）若l⊥x轴，可设H（x，0），因OA⊥OB，则A（x，±x）．由，得，即．
若l⊥y轴，可设H（0，y），同理可得．
（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设l：y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
则．．由OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=0．故 ，即7m²=12（k²+1）（记为①）．
由OH⊥AB，可知直线OH的方程为．联立方程组，得 （记为②）．将②代入①，化简得．综合（1）、（2），可知点H的轨迹方程为．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及消参法求轨迹方程，做题时应认真分析．