Question

判断函数f(x)=

ax+1

x+2

(a≠

1

2

)在（-2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：设x₁，x₂∈（-2，+∞）且x₁＜x₂，化简f（x₂）-f（x₁），变形到因式乘积的形式，判断符号，注意分类讨论，可得答案．

解答：解：设x₁，x₂∈（-2，+∞）且x₁＜x₂∵f(x)=

ax+2a+1-2a

x+2

=a+

1-2a

x+2

（2分）
∴f（x₂）-f（x₁）=(a+

1-2a

x2+2

)-(a+

1-2a

x1+2

)
=(1-2a)(

1

x2+2

-

1

x1+2

)=(1-2a)•

x1-x2

(x2+2)(x1+2)

（8分）
又∵-2＜x₁＜x₂，∴

x1-x2

(x2+2)(x1+2)

＜0
∴当1-2a＞0，即a＜

1

2

时，f（x₂）＜f（x₁），
当1-2a＜0，即a＞

1

2

时，f（x₂）＞f（x₁），
所以，当a＜

1

2

时，f(x)=

ax+1

x+2

在（-2，+∞）为减函数；
当a＞

1

2

时，f(x)=

ax+1

x+2

在（-2，+∞）为增函数．（12分）

点评：本题考查证明函数单调性的方法，体现分类讨论的数学思想．