Question

12．已知函数f（x）=（a-bx³）e^x-$\frac{lnx}{x}$，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x-（2e+1）y-3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x-（2e+1）y-3=0垂直，求得a，b；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=2{e^x}-\frac{lnx}{x}-{e^x}{x^3}$，证f（x）＞2，即证2e^x-e^xx³＞2$+\frac{lnx}{x}$，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：因为f（1）=e，故（a-b）e=e，故a-b=1①；
依题意，f′（1）=-2e-1；又${f^'}（x）=a{e^x}-\frac{1-lnx}{x^2}-b（{e^x}{x^3}+3{x^2}{e^x}）$，
故f′（1）=ae-1-4be=-2e-1，故a-4b=-2②，
联立①②解得a=2，b=1，…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得$f（x）=2{e^x}-\frac{lnx}{x}-{e^x}{x^3}$
要证f（x）＞2，即证2e^x-e^xx³＞2$+\frac{lnx}{x}$；    …（7分）
令g（x）=2e^x-e^xx³，∴g′（x）=e^x（-x³-3x²+2）=-e^x（x³+3x²-2）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），
故当x∈（0，1）时，-e^x＜0，x+1＞0；
令p（x）=x²+2x-2，因为p（x）的对称轴为x=-1，且p（0）•p（1）＜0，
故存在x₀∈（0，1），使得p（x₀）=0；
故当x∈（0，x₀）时，p（x）=x²+2x-2＜0，g′（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＞0，
即g（x）在（0，x₀）上单调递增；
当x∈（x₀，1）时，p（x）=x²+2x-2＞0，故g′（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＜0，
即g（x）在（x₀，1）上单调递减；因为g（0）=2，g（1）=e，
故当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0）=2，…（10分）
又当x∈（0，1）时，$\frac{lnx}{x}＜0$，∴$2+\frac{lnx}{x}＜2$…（11分）
所以2e^x-e^xx³＞2$+\frac{lnx}{x}$，即f（x）＞2…（12分）

点评 本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．