Question

设数列的前项和为，若对任意，都有.

⑴求数列的首项；

⑵求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

⑶数列满足，问是否存在，使得恒成立？如果存在，求出 的值，如果不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

⑴；⑵ ；⑶。

【解析】

试题分析：⑴∵ ∴             3分

⑵∵   ∴    (≥2)

∴                          5分

∴

∴(为常数) (≥2)

∴数列是以为公比的等比数列                      7分

∴                                     10分

⑶∵      ∴

∴                  12分

                 14分

∴当≥3时，＜1； 当=2时，＞1

∴当2时，有最大值 

∴                                      15分

∴                                          16分

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识，函数的单调性。

点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答根据的关系确定通项公式，认识到数列的特征。对于存在性问题，往往先假设存在，本题通过考察 的单调性，利用“放缩法”，证明假设的合理性。