Question

（理）某大学举办“我爱记歌词”校园歌手大赛，经过层层选拔，有5人进入决赛，决赛办法如下：选手参加“千首电脑选歌”演唱测试，测试过关者即被授予“校园歌手”称号，否则参加“百首电脑选歌”演唱测试．若“百首电脑选歌”测试过关也被授予“校园歌手”称号，否则被彻底淘汰．若进入决赛的5人“千首电脑选歌”演唱测试过关的概率是0.5，“百首电脑选歌”演唱测试合格的概率是0.8，而且每个人每轮测试是否合格是相互独立的，试计算（结果精确到0.01）
（1）恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱的概率；
（2）平均有几人参加“百首电脑选歌”演唱（保留小数）；
（3）至少一人被最终淘汰的概率．

Answer 1

分析：（1）根据题意，首先计算出每个参加比赛的选手参加测试的概率，分析可得五人中恰有两人参加“百首电脑选歌”演唱测试即5次独立重复实验中恰有2次发生，由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式，计算可得答案；
（2）根据题意，参加“百首电脑选歌”演唱测试的人数X服从二项分布B（5，0.5），由二项分布的期望公式，计算可得答案；
（3）记“至少一人被最终淘汰”为事件A，其对立事件

.

A

为“五个人全部通过”，计算某一个人不被淘汰的概率，由相互独立事件的概率公式，计算可得P（

.

A

），由对立事件的概率公式，计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，每个参加比赛的选手参加“百首电脑选歌”演唱测试的概率为1-0.5=0.5，且每人是否参加相互独立，
则五人中恰有两人参加“百首电脑选歌”演唱测试即5次独立重复实验中恰有2次发生，
其概率P₁=C₅²（1-0.5）²×0.5³=

5

16

；
（2）根据题意，参加“百首电脑选歌”演唱测试的人数X服从二项分布B（5，0.5），
即X的期望为EX=5×0.5=2.5，
即平均有2.5人参加“百首电脑选歌”演唱；
（3）记“至少一人被最终淘汰”为事件A，其对立事件

.

A

为“五个人全部通过”，
某人最终被淘汰的概率是（1-0.5）（1-0.8）=0.1，则其不被淘汰的概率为1-0.1=0.9，
P（

.

A

）=0.9⁵，
P（A）=1-0.9⁵≈0.41．

点评：本题考查相互独立事件、n次独立重复试验恰有k次发生的概率计算，关键是分析事件之间的相互关系，选择对应的公式．