Question

已知椭圆的上下焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线l的方向向量为（1，），若直线l与椭圆交于P、Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
（3）过点T（1，0）作直线l与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若．证明：λ+μ为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性质、椭圆的性质及参数a、b、c的关系即可得出；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式即可得出；
（3）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、向量相等即可证明．
解答：解：（1）由题意可得：
a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，
∴椭圆方程为．
（2）∵直线l的方向向量为（1，），
∴可设直线l的方程为，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入椭圆方程并化简得，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8．（*）
∴，．
∴|PQ|==．
又点O到PQ的距离为，
∴，
当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号，且满足（*）式．
所以△OPQ面积的最大值为．
（3）依题意知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₅）
则M、N满足消去y化为（2+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
易知△＞0，∴，．
∵，∴（x₃，y₃-y₅）=λ（1-x₃，y₃），
∵x₃≠1，∴，
同理．
∴λ+μ═==-4．
∴λ+μ为定值-4．
点评：熟练掌握正方形的性质、椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的相交问题、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、向量相等是解题的关键．