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已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N+)和2个白球,从中有放回连续摸三次,每次摸出2个球,若两个球颜色不同,则为中奖.
(1)当n=3时,设中奖次数为ζ,求ζ的分布列及期望;
(2)记三次摸球中,恰好两次中奖概率为P,当n为多少时,P有最大值.
分析:(1)当n=3时,每次摸出两个球,中奖的概率p=
3×2
C
2
5
=
3
5
,设中奖次数为ζ,则ζ的可能取值为0,1,2,3.分别求出P(ζ=0),P(ζ=1),P(ζ=2),P(ζ=3),由此能求出ζ的分布列和Eζ.
(2)设每次摸奖中奖的概率为p,则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P(ζ=2)=
C
2
3
•p2•(1-p)=-3p3+3p2,0<p<1,由此利用导数性质能求出n为1或2时,P有最大值.
解答:解:(1)当n=3时,每次摸出两个球,中奖的概率p=
3×2
C
2
5
=
3
5

设中奖次数为ζ,则ζ的可能取值为0,1,2,3.
P(ζ=0)=
C
0
3
(
2
5
)3
=
8
125

P(ζ=1)=
C
1
3
(
3
5
)(
2
5
)2
=
36
125

P(ζ=2)=
C
2
3
(
3
5
)2(
2
5
)
=
54
125

P(ζ=3)=
C
3
3
(
3
5
)3
=
27
125

∴ζ的分布列为:
 ζ  0  1  2  3
 P  
8
125
 
36
125
 
54
125
 
27
125
Eζ=0×
8
125
+1×
36
125
+2×
54
125
+3×
27
125
=
9
5

(2)设每次摸奖中奖的概率为p,则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为:
P(ζ=2)=
C
2
3
•p2•(1-p)=-3p3+3p2,0<p<1,
p′=-9p2+6p=-3p(3p-2),
当p∈(0,
2
3
)时,p′>0;当p∈(
2
3
,1)时,p′<0.
∴在(0,
2
3
)上,p为增函数;在(
2
3
,1)上,p为减函数.
∴当p=
2
3
时,p取得最大值,
∵p=
4n
(n+1)(n+2)
=
2
3
,即n2-3n-2=0,解得n=1或n=2.
故n为1或2时,P有最大值.
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和数学斯望的求法,解题时要认真审题,解题时要认真审题,注意导数的性质的灵活运用.
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Cn+km
.(1≤k<m≤n,k,m,n∈N)

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