Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，点E满足

PE

=

1

3

PD

．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证PA⊥平面ABCD，只需证明PA垂直平面ABCD内的两条相交直线CD、CB即可；也可以利用空间直角坐标系，向量的数量积为0来证明垂直；
（2）在平面PAD中，过E作EF∥PA，交AD于F，过F作AC的垂线，垂足为G，连接EG，说明∠EGF为二面角E-AC-D的平面角，然后求二面角E-AE-D的余弦值．也可以利用法向量的数量积来解它的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）正方形ABCD中，CD⊥AD，
又CD⊥PD，
所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PA（2分）
又CB⊥AB，CB⊥PB
∴CB⊥平面PAB
∴CB⊥PA（4分）
又CB∩CD=C
∴PA⊥平面ABCD（5分）

（Ⅱ）方法一：
在平面PAD中，过E作EF∥PA，交AD于F，过F作AC的垂线，垂足为G，连接EG，
∵EF∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∴EF⊥AC
又∵AC⊥FG，
∴AC⊥平面EGF
故EG⊥AC，
所以∠EGF为二面角E-AC-D的平面角（9分）
又EF=

2

3

PA=

4

3

，在△ACD中，FG=

2

3

∴EG=

EF2+FG2

=

2

（11分）
∴cos∠EGF=

2 3

2

=

1

3

（12分）

方法二：
建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（2，2，0），E（0，

2

3

，

4

3

），

AC

=（2，2，0），

AE

=（0，

2

3

，

4

3

）（7分）
设平面ACE的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • AC =0 m • AE =0

即

2x+2y=0 2 3 y+ 4 3 z=0

取

m

=(2，-2，1)（9分）
又平面ACD的法向量为

AP

=（0，0，2）（10分）
∴cos＜

AP

，

m

＞=

2

2•3

=

1

3

（11分）
由图可知，二面角的平面角为锐角，
∴二面角E-AC-D的余弦值为

1

3

（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．