【题目】已知点为椭圆上一点,其中为椭圆的离心率,椭圆的长轴长是短轴长的两倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知,(均不与点重合)是该椭圆上关于原点对称的两点,当的面积最大时,求直线的方程.
【答案】(1)(2).
【解析】
(1)将代入,得,椭圆的长轴长是短轴长的两倍,可得,联立方程,即可求得答案;
(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,的面积为1. 当直线的斜率存在时,设其方程为,代入,求得,根据点到直线距离公式求得点到直线的距离,结合均值不等式,即可求得答案.
(1)将代入,
得,即,
从而得.
又椭圆的长轴长是短轴长的两倍,
,
由,得,
故椭圆的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
易得的面积为1.
②当直线的斜率存在时,设其方程为,代入
并化简得,得,
.
由(1)易得,所以,
点到直线的距离.
.
记,则有,
当且仅当,即时取等号.
故当的面积最大时,直线的方程为.
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【题目】从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果,选50名患者服药一段时间后,记录了这些患者的生理指标和的数据,并统计得到如下的列联表(不完整):
合计 | |||
12 | 36 | ||
7 | |||
合计 |
其中在生理指标的人中,设组为生理指标的人,组为生理指标的人,他们服用这种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
组:10,11,12,13,14,15,16
组:12,13,15,16,17,14,25
(Ⅰ)填写上表,并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标和有关系;
(Ⅱ)从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.
附:,其中.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知为坐标原点,,,,若.
⑴ 求函数的最小正周期和单调递增区间;
⑵ 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求函数在上的最小值.
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【题目】已知各项均为正数的数列的前n项和为,,且对任意n,恒成立.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设,已知,,(2<i<j)成等差数列,求正整数i,j.
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【题目】(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆 相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线 与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于( )
A.8πB.9πC.10πD.11π
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