Question

（2007•广州二模）已知椭圆E的两个焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点C(1，

3

2

)在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点P在椭圆E上，且满足

PF1

•

PF2

=t，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由半焦距c=1，a²-b²=1，点C（1，

3

2

）在椭圆E上，得到

1

a2

+

9

4b2

=1．求出a²，b²，推出椭圆E的方程． 
解法二：设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），通过点C（1，

3

2

）在椭圆E上，利用2a=|CF₁|+|CF₂|，求出a=2．由已知半焦距c=1，求出b²．然后求出椭圆E的方程． 
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），由

PF1

•

PF2

=t，推出x₀²+y₀²=t+1．点P在曲线C上，

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，得y₀²=t+1-x₀²，然后求出0≤x₀²≤4，解出2≤t≤3．得到实数t的取值范围．

解答：（本小题满分14分）
（Ⅰ）解法一：依题意，设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知半焦距c=1，∴a²-b²=1．                      ①…（2分）
∵点C（1，

3

2

）在椭圆E上，则

1

a2

+

9

4b2

=1．                ②…（4分）
由①、②解得，a²=4，b²=3．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                      …（6分）
解法二：依题意，设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵点C（1，

3

2

）在椭圆E上，∴2a=|CF₁|+|CF₂|，即a=2．         …（3分）
由已知半焦距c=1，∴b²=a²-c²=3．                              …（5分）
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                      …（6分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），由

PF1

•

PF2

=t，得
（-1-x₀．-y₀）•（1-x₀，-y₀）=t，
即x₀²+y₀²=t+1．                                  ③…（8分）
∵点P在曲线C上，
∴

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．                                    ④
由③得y₀²=t+1-x₀²，代入④，并整理得
x₀²=4（t-2）．                                    ⑤…（10分）
由④知，0≤x₀²≤4，⑥…（12分）
结合⑤、⑥，解得：2≤t≤3．
∴实数t的取值范围为[2，3]．                                     …（14分）

点评：本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力．