Question

10．已知抛物线方程为y²=8x，
（1）直线l过抛物线的焦点F，且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，求AB的长度．
（2）直线l₁过抛物线的焦点F，且倾斜角为45°，直线l₁与抛物线相交于C，D两点，O为原点．求△OCD的面积．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点坐标，令x=2，求得A，B的坐标，即可得到AB的长．
（2）S△OCD=$\frac{1}{2}$CD×d，其中d为l到CD的距离，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则S△OCD=$\frac{1}{2}$OF|y₁-y₂|．

解答 解：（1）因为抛物线方程为y²=8x，
所以F（2，0），
又l过焦点且垂直于x轴，
∴l：x=2联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=8x}\\{x=2}\end{array}}\right.$．
解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}}\right.$，
所以|AB|=8…（4分）
（2）由直线l₁过抛物线的焦点F，且倾斜角为45°，得l₁：y=x-2…（6分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=8x}\\{y=x-2}\end{array}}\right.$，
∴y²-8y-16=0，y₁+y₂=8，y₁•y₂=-16，
∴$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{{{（{{y_1}+{y_2}}）}^2}-4{y_1}•{y_2}}=8\sqrt{2}$，
又|OF|=2，
∴△OCD的面积为$S=\frac{1}{2}|{OF}|•|{{y_1}-{y_2}}|=8\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意抛物线性质的合理运用．