Question

已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线l：3x-4y+1=0被圆M截得的弦长为2

3

，且圆心M在直线l的上方．
（1）求圆M的方程；
（2）设A（0，t），B（0，t+6）（-4≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值及对应的t值．

Answer 1

考点：圆的标准方程,三角形的面积公式

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设圆心M（a，0），利用M到l：3x-4y+1=0的距离，求出M坐标，然后求圆M的方程；
（2）设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值．

解答： 解：（1）设圆心M（a，0），由已知，得M到l：3x-4y+1=0的距离为

22-( 3 )2

=1，∴

|3a+1|

5

=1，
又∵M在l的上方，∴3a+1＜0，∴-3a-1=5，∴a=-2，故圆的方程为（x+2）²+y²=4；
（2）设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，则直线AC的方程为y=k₁x+t，直线BC的方程为y=k₂x+t+6．
联立得C点的横坐标为

6

k1-k2

，
∵|AB|=t+6-t=6，∴S=

1

2

|

6

k1-k2

|×6=|

18

k1-k2

|
由于圆M与AC相切，所以

|-2k1+t|

1+k12

=2，∴k₁=

t2-4

4t

同理，k₂=

(t+6)2-4

4(t+6)

，
∴k₁-k₂=-

3

2

（1+

4

t2+6t

），
∵-4≤t≤-2，∴-9≤t²+6t≤-8，∴-8≤t²+6t+1≤-4，∴

3

4

≤|k₁-k₂|≤

5

6

，
∴S_max=24．
此时t²+6t=-8，t=-2或-4．

点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．