Question

已知函数．

(Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值；

(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) （Ⅱ），利用单调性证明

【解析】

试题分析：(Ⅰ)首先，  ，有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得 

（Ⅱ）由题意，有两不同的正根，故.

解得： ，设的两根为，不妨设，因为在区间上，，而在区间上，，故是的极小值点.因在区间上是减函数，如能证明则更有由韦达定理，，

令其中设 ，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值 

（Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于.

由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，

（用表示的关系式与此相同），这样

即，再证明该式小于是容易的（注意，下略）.

考点：本题考查了导数的运用

点评：对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想的运用