Question

选做题 
（1）已知a，b∈R，若M=

-1 a b 3

所对应的变换T_M把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．
（2）已知直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 2 2 + 3 2 t

（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-

π

4

）．
（Ⅰ）求直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）首先分析题目已知M=

-1 a b 3

 对应的变换T_M把直线L：2x-y=3变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b即可得到矩阵M，再根据MM¹=E，求得M的逆矩阵即可．
（2）（Ⅰ）把直线l的参数方程化为普通方程，根据直线的斜率，求出倾斜角的值．把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再由弦长公式求出AB的值

解答：解：（1）设P（x，y）为直线2x-y=3上任意一点其在M的作用下变为（x'，y'），
则

-1 a b 3

 

x y

=

-x+ay bx+3y

=

x′ y′

，∴

x′=-x+ay y′=bx+3y

．
代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3，其与2x-y=3完全一样．
∴

-b-2=2 2a-3=-1

，解得

b=-4 a=1

，则M=

-1 1 -4 3

．
又因为MM¹=E，∴M-1=

3 4 4 -1

．
（2）（Ⅰ）把直线l的参数方程

x= 1 2 t y= 2 2 + 3 2 t

（t为参数），化为普通方程为y=

3

x+

2

2

，
它的斜率为

3

，故它的倾斜角等于60°．
（Ⅱ）由于l的直角坐标方程为y=

3

x+

2

2

，即

3

 x-y+

2

2

=0．
曲线C的极坐标方程ρ=2cos（θ-

π

4

），即 ρ²=2ρ（

2

2

cosθ+

2

2

sinθ），
∴x²+y²=

2

x+

2

y，即 (x-

2

2

)2+(y-

2

2

)2=1．
故圆心 （

2

2

，

2

2

）到直线的距离d=

| 3 × 2 2 - 2 2 + 2 2 |

3+1

=

6

4

，
故弦长AB=2

r2- d 2

=

10

2

．

点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法．把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．