Question

4．函数f（x）=$\sqrt{2sin（2x-\frac{π}{3}）-1}$+lg（25-x²）定义域为（-5，-$\frac{17π}{12}$]∪[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{5π}{12}$]∪[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]∪[$\frac{5π}{4}$，$\frac{19π}{12}$]．

Answer 1

分析 要使函数有意义，只需满足$\left\{\begin{array}{l}{2sin（2x-\frac{π}{3}）-1≥0}\\{25-x^2＞0}\end{array}\right.$，再根据三角函数的图象和性质解不等式．

解答 解：要使函数f（x）=$\sqrt{2sin（2x-\frac{π}{3}）-1}$+lg（25-x²）有意义，
则$\left\{\begin{array}{l}{2sin（2x-\frac{π}{3}）-1≥0}\\{25-x^2＞0}\end{array}\right.$，
由不等式25-x²＞0解得x∈（-5，5），---------①
由不等式2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1≥0解得，sin（2x-$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，
所以，2x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z），
解得，x∈[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，-------------②
综合①②，对k讨论如下：
当k=0时，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]；
当k=1时，x∈[$\frac{5π}{4}$，$\frac{19π}{12}$]；（$\frac{19π}{12}$≈4.97＜5）
当k=-1时，x∈[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{5π}{12}$]；
当k=-2时，x∈（-5，-$\frac{17π}{12}$]；
因此，原函数的定义域为：（-5，-$\frac{17π}{12}$]∪[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{5π}{12}$]∪[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]∪[$\frac{5π}{4}$，$\frac{19π}{12}$]．

点评 本题主要考查了函数定义域的解法，涉及对数函数的定义域和三角不等式的解法，属于中档题．