Question

已知向量

a

=(

3

sin3x ，- y) ， 

b

=(m ， cos3x-m)（m∈R），且

a

+

b

=

0

．设y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[

π

18

 ， 

2π

9

]上图象最低点M的坐标．
（2）若对任意x∈[0 ， 

π

9

]，f（x）＞t-9x+1恒成立，求实数t的范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的向量之间的关系，写出关于三角函数的关系式，消元得到函数式，整理成可以解决三角函数性质的形式，根据所给的变量的范围得到三角函数的范围．
（2）本题是一个函数的恒成立问题，写出关系式，分离参数，要证一个变量恒小于一个函数式时，要用一种函数思想，即只要这个变量小于函数的最小值即可．

解答：解：（1）∵

a

+

.

b

=

.

0

，即

3 sin3x+m=0 -y+cos3x-m=0

，
消去m，得y=

3

sin3x+cos3x，
即f(x)=

3

sin3x+cos3x=2sin(3x+

π

6

)，
x∈[

π

18

 ， 

2π

9

]时，3x+

π

6

∈[

π

3

 ， 

5π

6

]，sin(3x+

π

6

)∈[

1

2

 ，1]，
即f（x）的最小值为1，此时x=

2π

9

∴函数f（x）的图象上最低点M的坐标是(

2π

9

， 1)
（2）∵f（x）＞t-9x+1，即2sin(3x+

π

6

)+9x＞t+1，
当x∈[0 ， 

π

9

]时，函数f(x)=2sin(3x+

π

6

)单调递增，y=9x单调递增，
∴y=2sin(3x+

π

6

)+9x在[0 ， 

π

9

]上单调递增，
∴y=2sin(3x+

π

6

)+9x的最小值为1，
为要2sin(3x+

π

6

)+9x＞t+1恒成立，只要t+1＜1，
∴t＜0为所求．

点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现．