Question

已知椭圆C:3x²+4y²=12,试确定m的取值范围,使得对于直线l:y=4x+m,椭圆上有不同的两点A、B关于这条直线对称.

Answer 1

分析:对称的实质,一是直线AB与l垂直,二是线段AB的中点在l上,故可设出直线AB的方程,与椭圆联立,利用判别式求解.

解法一:设椭圆上关于l对称的两点为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB所在直线方程为y=x+b,代入椭圆方程,得13x²-8bx+16b²-48=0.

∵x₁≠x₂,

∴Δ=64b²-4×13(16b²-48)＞0,

即4b²-13＜0,＜b＜.

又x₁+x₂=,=,

∴y₁+y₂=(x₁+x₂)+2b,=b.

而线段AB的中点在直线l上,

∴b=+m,m=b.

∴m∈(,).

解法二:因为存在关于l对称的两点A、B,∴AB的中点在l上,由直线AB与直线l垂直,知k_AB=,故可用“点差法”求出AB中点M的坐标,然后利用点M在椭圆内部去求解.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB的中点M(x₀,y₀),则

3(x₁+x₂)(x₁-x₂)+4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0,

.

∴y₀=3x₀.又M(x₀,y₀)在直线l上,

∴

解得

∵点M(-m,-3m)在椭圆内部,

∴3(-m)²+4(-3m)²＜12,即＜m＜.

∴m的取值范围为m∈(,).