Question

已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+

3

y-

3

=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=

π

2

．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足

OM

•

ON

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）依题意，设直线l：x+

3

y=

3

与椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB=

π

2

，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=

3

（1-y₁），x₂=

3

（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0．由此可求出椭圆Γ的方程．
（2）由题意知M、N是椭圆

x2

3

+y²=1上的两点，且OM⊥ON，故设M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），由题设条件能够推出|MN|的最小值为

3

．

解答：解：（1）依题意，设直线l：x+

3

y=

3

与椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由∠AOB=

π

2

，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=

3

（1-y₁），x₂=

3

（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0①
由|AB|=2知：|y₁-y₂|=2，即|y₁-y₂|=1，
不妨设y₁＞y₂，则y₂=y₁+1，②
将②式代入①式求得：

y1=0 y2=1

或

y1= 1 2 y2= 3 2

，
∴A（

3

2

，

1

2

），B（-

3

2

，

3

2

）或A（

3

，0），B（0，1），
又A（

3

2

，

1

2

），B（-

3

2

，

3

2

）不合题意，舍去．
∴A（

3

，0），B（0，1），
故所求椭圆Γ的方程为

x2

3

+y²=1．
（2）由题意知M、N是椭圆

x2

3

+y²=1上的两点，且OM⊥ON，
故设M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），
于是r₁²（

cos2θ

3

+sin²θ）=1，r₂²（

sin2θ

3

+cos²θ）=1，
又（r₁²+r₂²）（

1

r 2 1

+

1

r 2 2

）=2+

r 2 1

r 2 2

+

r 2 2

r 2 1

≥4，
从而|MN|²•

4

3

≥4，即|MN|≥

3

，
故所求|MN|的最小值为

3

．

点评：本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．