Question

11．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直．AB=$\sqrt{2}$，AF=1．M是线段EF的中点
（1）求证：BD⊥AM
（II）求证：AM∥平面BDE；
（III）求三棱锥A-BDF的体积．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的性质证明BD⊥平面ACEF，根据线面垂直的性质得出BD⊥AM．
（2）取AC，BD交点O，连结OE，则四边形AOEM是平行四边形，得到AM∥OE，推出AM∥平面BDE．
（3）以△ABD为棱锥底面，则棱锥的高为FA，代入体积公式计算．

解答 证明：（I）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，
∴BD⊥平面ACFE，∵AM?平面ACEF，
∴BD⊥AM．
（II）设AC，BD交于点O，连结EO．
∵四边形ABCD是正方形，∴AO=$\frac{1}{2}AC$，
∵M是EF中点，∴ME=$\frac{1}{2}$EF，
∵四边形ACEF是矩形，∴AC=EF，AC∥EF．
∴AO∥ME，AO=ME，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE，∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（III）V_棱锥A-BDF=V_棱锥F-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•FA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{（\sqrt{2}）}^{2}×1$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考出查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质，几何体的体积计算，属于中档题．