Question

某工厂为某工地生产容器为的无盖圆柱形容器，容器的底面半径为r（米），而且制造底面的材料每平方米为30元，制造容器的材料每平方米为20元，设计时材料的厚度可忽略不计．
（1）制造容器的成本y（元）表示成r的函数；
（2）工地要求容器的底面半径r∈[2，3]（米），问如何设计容器的尺寸，使其成本最低？，最低成本是多少？（精确到元）

Answer 1

解：（1）容器壁的高为h米，容器的体积为V米³．
由．
∴
∴y=30•πrr²+20•2πrh==
（2）由
当且仅当．即r=1时，取等号．
由1∉[2，3]；下面研究函数在r∉[2，3]上的单调性．
设2≤r₁＜r₂≤3，==，
∵2≤r₁＜r₂≤3，
∴，
∴Q（r₁）-Q（r₂）＜0，即Q（r）在[2，3]上为增函数．
当r=2时，y取得最小值150π≈465（元）．
∴当r=2米，米时，造价最低为465元．
分析：（1）由无盖圆锥形容器容积为米³，我们设底面半径为r，易求出底面面积，及侧（容器壁）面积，然后再根据制造底面的材料每平方米30元，制造容器壁的材料每平方米20元，我们可得到容器的成本y（元）表示为r的函数的解析式；
（2）根据（1）中的容器的成本y（元）表示为r的函数的解析式，结合函数的单调性，我们易求出成本最低值，及对应的底面半径r的值．
点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．