Question

如图，曲线y=上的点P_i(t_i²，t_i)(i=1，2，…，n，…)与x轴正半轴上的点Q_i及原点O构成一系列正三角形P_iQ_i-1Q_i(Q₀与O重合)，记a_n=|Q_nQ_n-1|.

(Ⅰ)求a₁的值；

(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(Ⅲ)设S_n为数列{a_n}的前n项和；若对于任意的实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，当n≥k时，3S_n-3n+2≥(1—λ)(3a_n-1)恒成立，求k的最小值.

Answer 1

解：(Ⅰ)由P₁(,ti)(t＞0),得

a₁=|Q₁Q₀|=|OQ|=|OP₁|=

(Ⅱ)设P_n(,t_n),得直线P_nQ_n-1的方程为：

y-t_n=,可得Q_n-1()

直线P_nQ_n的方程为y-t_n=-(x),可得Q_n(),

所以也有Q_n-1(),得,

由t_n＞0,得t_n-t_n-1=所以t_n=t₁+,Q_n(n(n+1),0),

Q_n-1(n(n-1),0)  故a_n=|Q_nQ_n-1|=n 

(Ⅲ)由已知对任意实数时λ∈[0,1]时n²-2n+2≥(1-λ)(2n—1)恒成立对任意实数λ∈[0,1]时,(2n-1)λ+n²-4n+3≥0恒成立则令f(λ)=(2n-1)λ+n²-4n+3,则f(λ)是关于λ的一次函数.对任意实数时λ∈[0,1]时n2-2n+2≥(1-λ)(2n-1)恒成立对任意实数,λ∈[0,1]时,或n≤1  又∵n∈N^*  ∴k的最小值为3.