Question

已知数列是其前n项的和，且

（I）求数列的通项公式；

（II）设，是否存在最小的正整数k，使得对于任意的正整数n，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由

Answer 1

解：（I）由已知a_n=7S_n－1+2  ①得 a_n+1=7S_n+2  ②

②－①，得a_n+1－a_n=7(S_n－S_n－1=7a_n  (n≥2)      

∴a_n+1=8a_n(n≥2)，又a₁=2，

∴a₂=7a₁+2=16=8a₁，

∴a_n+1=8a_n(n=1，2，3…)

所以数列{a_n}是一个以2为首项，8为公比的等比数列

∴a_n=2?8^n－1=2^3n－2

（II）

∵n是正整数，∴n≥1，∴－3n+1<0

∴T_n+1－T_n<0，T_n+1<T_n，即数列{T_n}是一个单调递减数列，又T₁=b₂=

∴T_n≤T₁=，若T_n<恒成立，则<，即k>3

又k是正整数，故存在最小正整数k为4使T_n<恒成立.