Question

设椭圆与双曲线有公共焦点，它们的离心率之和为2，若椭圆方程为25x²+9y²=225，求双曲线方程．

Answer 1

分析：先根据椭圆的方程求得焦点坐标和离心率，进而可知双曲线的半焦距，设出双曲线的标准方程，根据离心率之和求得a，再利用c求得b．答案可得．

解答：解：整理椭圆方程得

x2

9

+

y2

25

=1
∴c₁=

25-9

=4
∴焦点坐标为（0，4）（0，-4），离心率e₁=

4

5

∴设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，
则半焦距c₂=4

4

a

+

4

5

=2，a=

10

3

b=

c2- a2

=

2 11

3

∴双曲线方程为

y2

100 9

-

x2

44 9

=1

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．．在求曲线方程的问题中，巧设方程，减少待定系数，是非常重要的方法技巧．特别是具有公共焦点的两种曲线，它们的公共点同时具有这两种曲线的性质，解题时要充分注意．