Question

如果函数f（x）=a^x（a^x-4a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是

1. A.
   [）
2. B.
   （0，]
3. C.
   （1，2]
4. D.
   ∅

Answer 1

A
分析：先化简f（x）的表达式，令t=a^x．则f（t）=t²-（4a²+1）t（t＞0）．下面对参数a分类讨论，利用复合函数的单调性的方法求解即可．
解答：由题意得f（x）=（a^x）²-（4a²+1）a^x，
令t=a^x，≥1，f（t）=t²-（4a²+1）t，（t≥1）
当a＞1时，t=a^x在[0，+∞）上为增函数，
而对于f（t）=t²-（4a²+1）t，（t≥1），对称轴t=，
根据复合函数的增减性，
要使f（t）在区间t∈[1，+∞）上也是增函数，
就必须有：对称轴t=＞，（a＞1）
∴f（t）在区间t∈[1，+∞）上先减后增，
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上不是增函数，
∴0＜a＜1，此时t=a^x在[0，+∞）上为减函数，
此时0＜t＜1，要使f（x）在[0，+∞）上为增函数，
则f（t）在（0，1]上必为减函数，
故≥1，
∴a≥，综上≤a＜1；
故选A；
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．