Question

已知函数，若f（6-a²）＞f（a）则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-3）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（3，+∞）
C．（-3，2）
D．（-2，3）

Answer 1

【答案】分析：根据函数的解析式判断函数的单调性，当x≤e时，f（x）=-x²+6x+e²-5e-2=-（x-3）²+e²-5e+7在（-∞，e]单调递增，当x＞e时，f（x）=x-2lnx，利用导数研究函数的单调性，从而判断出函数在定义域R上的单调性，根据函数的单调性把不等式f（6-a²）＞f（a）转化为6-a²＞a，解此不等式即可求得结果．
解答：解：当x≤e时，f（x）=-x²+6x+e²-5e-2=-（x-3）²+e²-5e+7在（-∞，e]单调递增，
且f（e）=e-2，
当x＞e时，f（x）=x-2lnx，
∴f′（x）=1-=＞0，
∴f（x）=x-2lnx在（e，-+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（e）=e-2，
综上函数f（x）为R上的增函数，
由f（6-a²）＞f（a）得6-a²＞a，
解得-3＜a＜2
故选C．
点评：本题考查分段函数的单调性，以及利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性把不等式f（6-a²）＞f（a）转化为6-a²＞a，是解题的关键，属中档题．