Question

在如图所示的几何体中，四边形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，点A、B、E、A₁在一个平面内，AB=BC=CC₁=2，．
（1）证明：A₁E∥AB；
（2）证明：平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ACC₁A₁是矩形，
∴A₁C₁∥AC，AC?平面ABC，∴A₁C₁∥平面ABC．
∵FC₁∥BC，BC⊆平面ABC，∴FC₁∥平面ABC，
∵A₁C₁，FC₁⊆平面A₁EFC₁，
∴平面A₁EFC₁∥平面ABC，
∵平面ABEA与平面A₁EFC₁、平面ABC的交线分别是A₁E、AB，
∴A₁E∥AB．
（2）∵四边形ACC₁A₁是矩形，∴AA₁∥CC₁，
∵∠BCC₁=90°，即CC₁⊥BC，
∴AA₁⊥BC，
∵AB=BC=2，AC=2，
∴AB²+BC²=AC²，∴∠ABC=90°，
即BC⊥AB，
∵AB，AA₁?平面AA₁EB，BC⊥平面AA₁EB，而BC?平在CC₁FB，
∴平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．
分析：（1）由四边形ACC₁A₁是矩形，知A₁C₁∥AC，AC?平面ABC，故A₁C₁∥平面ABC．由FC₁∥BC，BC⊆平面ABC，知FC₁∥平面ABC，故平面A₁EFC₁∥平面ABC，由此能够证明A₁E∥AB．
（2）由四边形ACC₁A₁是矩形，知AA₁∥CC₁，由∠BCC₁=90°，知AA₁⊥BC，由AB=BC=2，AC=2，知BC⊥AB，由此能够证明平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．
点评：本题考查异面直线平行的证明和平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意挖掘题设的隐含条件，合理地化空间几何问题为平面解析几何问题，注意培养空间想象力．