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已知椭圆 $数学公式$ 的长半轴是短半轴的 $数学公式$ 倍，直线 $数学公式$ 经过
椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设一条直线 l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 $数学公式$ ，求△AOB面积的最大值．

解：（1） $\text{[math]}$ 与x轴的交点为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，c²=a²-b²=2
∴ $\text{[math]}$ ，b=1
椭圆C的方程为： $\text{[math]}$ ．（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
或 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
则： $\text{[math]}$ （6分）
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，（8分）
△=（6km）²-12（3k²+1）（m²-1）=3（9k²+1）＞0
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（12分）
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时等号成立．
由①、②可知：|AB|_max=2．
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）根据直线 $\text{[math]}$ 经过椭圆C的一个焦点，可求c．利用长半轴是短半轴的 $\text{[math]}$ 倍，可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论：AB⊥x轴时；AB与x轴不垂直，将直线方程代入椭圆方程，进而可求AB的长，从而可表示△AOB面积，故可求面积的最大值．
点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程，组成方程组，进而利用根与系数的关系求解．

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=0经过
椭圆C的一个焦点．
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