Question

已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l₁；x+y+1=0和l₂：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．

Answer 1

分析：法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l₁、l₂联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．
法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l₁的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l₁、l₂之间的距离及l与l₁夹角的关系求解．
法三：设直线l₁、l₂与l分别相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则通过求出y₁-y₂，x₁-x₂的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l的方程．

解答：解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，
此时与l₁、l₂的交点分别为A′（3，-4）或B′（3，-9），
截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1．
解方程组

y=k(x-3)+1 x+y+1=0

得
A（

3k-2

k+1

，-

4k-1

k+1

）．
解方程组

y=k(x-3)+1 x+y+6=0

得
B（

3k-7

k+1

，-

9k-1

k+1

）．
由|AB|=5．
得（

3k-2

k+1

-

3k-7

k+1

）²+（-

4k-1

k+1

+

9k-1

k+1

）²=5²．
解之，得k=0，直线方程为y=1．
综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．

解法二：由题意，直线l₁、l₂之间的距离为d=

|1-6|

2

=

5 2

2

，
且直线L被平行直线l₁、l₂所截得的线段AB的长为5，
设直线l与直线l₁的夹角为θ，则sinθ=

5 2 2

5

=

2

2

，故θ=45°．
由直线l₁：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，
又由直线l过点P（3，1），故直线l的方程为：x=3或y=1．

解法三：设直线l与l₁、l₂分别相交A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+y₁+1=0，x₂+y₂+6=0．
两式相减，得（x₁-x₂）+（y₁-y₂）=5．①
又（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=25．②
联立①、②可得

x1-x2=5 y1-y2=0

或

x1-x2=0 y1-y2=5

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．
故所求的直线方程为x=3或y=1．

点评：本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．