Question

已知，，

（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；

（3）求证：．

 

Answer 1

【答案】

（1）． （2）的最大值为．

（3）证明（法一）：先得到时，，即．

令，得，   

化简得，

．

（法二）数学归纳法：

【解析】

试题分析：（1）由得，

，要使不等式恒成立，必须恒成立．   

设，，

，当时，，则是增函数，

，是增函数，，．

因此，实数的取值范围是．                     5分

（2）当时，，

，在上是增函数，在上的最大值为．

要对内的任意个实数都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．

，解得．

因此，的最大值为．                              9分

（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，

即．                            10分

令，得，   

化简得，                  13分

．          14分

（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，

根据（1）的推导有，时，，即．

令，得，即． 因此，时不等式成立．        10分

（另解：，，，即．）

假设当时不等式成立，即，

则当时,

，

要证时命题成立，即证，

即证． 在不等式中，令，得           

．  时命题也成立．     13分

根据数学归纳法，可得不等式对一切成立．   14分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，不等式的证明。

点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。本题（II）解法较多，涉及复杂式子变形，学生往往失去耐心而失分。