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已知椭圆C的焦点是F1( 0, -
3
)
F2(0, 
3
)
,点P在椭圆上且满足|PF1|+|PF2|=4.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设直线l:2x+y+2=0与椭圆C的交点为A,B.
(i)求使△PAB的面积为
1
2
的点P的个数;
(ii)设M为椭圆上任一点,O为坐标原点,
OM
OA
OB
(λ,μ∈R)
,求λ22的值.
分析:(Ⅰ)待定系数法求椭圆的标准方程.
(Ⅱ)(i)把直线l方程代入椭圆的方程,求出线段AB的长度,由三角形的面积求出三角形的高是
5
5
,写出与AB平行且到AB的距离等于
5
5
直线方程,考查此直线与椭圆交点的个数.
(ii)设M(x,y),则M(x,y)满足椭圆的方程,由题中条件用点M的坐标表示出λ和μ,计算λ22的值.
解答:解:(Ⅰ)∵|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|
∴点P满足的曲线C的方程为椭圆
2a=4,?c=
3

∴b2=a2-c2=1
∴椭圆C的标准方程为x2+
y2
4
=1
.(4分)

(Ⅱ)(i)∵直线l:2x+y+2=0与椭圆C的交点为A,B
∴A(-1,0),?B(0,-2),|AB|=
5

S△PAB=
1
2
|AB|d=
1
2

d=
5
5

∵原点O到直线l:2x+y+2=0的距离是
2
5
=
2
5
5
5
5

∴在直线l:2x+y+2=0的右侧有两个符合条件的P点
设直线l′:2x+y+n=0与椭圆相切,则
2x+y+n=0
x2+
y2
4
=1
有且只有一个交点
∴8x2+4nx+n2-4=0有且只有一个解
由△=0解得n=2
2
(设负)
此时,l′与l间距离为
2
2
-2
5
1
5

∴在直线l:2x+y+2=0的左侧不存在符合条件的P点
∴符合条件的点P有2个.(10分)

(ii)设M(x,y),则x,y满足方程:x2+
y2
4
=1

OM
OA
OB
(λ,μ∈R)

∴(x,y)=λ(-1,0)+μ(0,-2)=(-λ,-2μ)
即:
x=-λ
y=-2μ
,从而有
λ=-x
μ=-
y
2

λ2+μ2=x2+
y2
4
=1
.(14分)
点评:本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程,点到直线的距离公式的应用,以及直线与圆锥曲线的交点问题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的焦点在x轴上,一个顶点的坐标是(0,1),离心率等于
2
5
5

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于M点,若
MA
=λ1
AF
MB
=λ2
BF
,求证:λ12为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),斜率为1的直线l与椭圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(Ⅰ)若椭圆的离心率e=
3
2
,直线l过点M(b,0),且
OA
OB
=
32
5
cot∠AOB
,求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线l过椭圆的右焦点F,设向量
OP
=λ(
OA
+
OB
)
(λ>0),若点P在椭圆C上,求λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知椭圆C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),点A,B分别是椭圆的长轴的左、右端点,
左焦点坐标为(-4,0),且过点P 
3
2
  
5
2
3
)

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知F是椭圆C的右焦点,以AF为直径的圆记为圆M,试问:过P点能否引圆M的切线,若能,求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积;若不能,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•通州区一模)已知椭圆C的焦点在y轴上,离心率为
2
2
,且短轴的一个端点到下焦点F的距离是
2

(I)求椭圆C的标准方程;
(II)设直线y=-2与y轴交于点P,过点F的直线l交椭圆C于A,B两点,求△PAB面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年湖北省黄冈市浠水一中高三(下)高考交流数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知椭圆C的方程是(a>b>0),点A,B分别是椭圆的长轴的左、右端点,
左焦点坐标为(-4,0),且过点
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知F是椭圆C的右焦点,以AF为直径的圆记为圆M,试问:过P点能否引圆M的切线,若能,求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积;若不能,说明理由.

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