Question

已知不等式2x-1＞m（x²-1）．
（1）若对于所有实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对于m∈[-2，2]不等式恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）等价于mx²-2x+（1-m）＜0对任意实数x恒成立，分m=0和m≠0两种情况讨论，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．
（2）等价于（x²-1）m-（2x-1）＜0在[-2，2]上恒成立，利用一次函数要么为增函数，要么为减函数两种情况分别讨论即可．

解答：解：（1）原不等式等价于mx²-2x+（1-m）＜0对任意实数x恒成立
当m=0时，-2x+1＜0?x＞

1

2

不恒成立
∴

m＜0 △=4-4m(1-m)＜0

，
∴m无解．故m不存在．

（2）设f（m）=（x²-1）m-（2x-1）
要使f（m）＜0在[-2，2]上恒成立，当且仅当

f(2)＜0 f(-2)＜0

?

2x2-2x-1＜0 -2x2-2x+3＜0

∴

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

∴x的取值范围是{x|

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

}

点评：本题考查了一次函数和二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．