Question

（2012•温州二模）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

的部分图象，M，N是它与轴的两个交点，D，C分别为它的最高点和最低点，点F （0，1）是线段MD的中点，S_△CDM=

2π

3

．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）在△CDM中，记∠DMN=α，∠CMN=β．证明：sinC=2cosαsinβ．

Answer 1

分析：（I）先由条件得到A=2，再由 S_△DMN=

1

2

S_△CDM=

T•A

4

=

π

3

，求得 T=

2π

3

=

2π

ω

，从而求得ω=3．求出点M的坐标为（-

π

12

，0），由五点法作图求得φ 值．
（II）在△CDM中，由题意可得 tanα=3tanβ，即 sinαcosβ=3cosαsinβ．而DC=2DM，故sinC=

1

2

sin∠DMC=

1

2

sin（α+β），化简可得sinC=2cosαsinβ成立．

解答：解：（I）由已知 点F （0，1）是线段MD的中点知A=2，∵S_△DMN =

1

2

S_△CDM=

1

2

MN•A=

T•A

4

=

π

3

，∴T=

2π

3

=

2π

ω

，ω=3．
∴函数f（x）=2sin（3x+φ），再由已知可得点M的坐标为（-

π

12

，0），由五点法作图可得 3（-

π

12

）+φ=0，∴φ=

π

4

．
（II）在△CDM中，∠DMN=α，∠CMN=β，则有 tanα=3tanβ，即 sinαcosβ=3cosαsinβ．
而DC=2DM，故sinC=

1

2

sin∠DMC=

1

2

sin（α+β）=

1

2

sinαcosβ+

1

2

cosαsinβ=

3

2

cosαsinβ+

1

2

cosαsinβ=2cosαsinβ，
∴sinC=2cosαsinβ成立．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．