Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

，n∈N^*，猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由．

Answer 1

分析：利用数列递推式，计算前几项，可猜想通项，证明时利用取倒数的方法，可得数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，

1

2

为公差的等差数列，从而可求数列的通项．

解答：解：在{a_n}中，a₁=1，a₂=

2a1

2+a1

=

2

3

，a₃=

2a2

2+a2

=

1

2

=

2

4

，a₄=

2a3

2+a3

=

2

5

，…，
所以猜想{a_n}的通项公式a_n=

2

n+1

．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a₁=1，a_n+1═

2an

2+an

，
所以

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

，
即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
所以

1

an

=1+

1

2

（n-1）=

1

2

n+

1

2

，所以通项公式a_n=

2

n+1

．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确构造等差数列是关键．