Question

15．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$+ax．
（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），求出f（1），f′（1），从而求出切线方程；
（2）先求出函数的导数，问题转化为：a＞-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），令g（x）=-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，通过函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围．

解答 解：（1）a=1时：
f（x）=$\frac{lnx}{x}$+x，f′（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$+1，
∴f（1）=1，f′（1）=2，
∴切线方程是：y-1=2（x-1），
即：y=2x-1；
（2）f′（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$+a，
若函数f（x）在定义域内单调递增，
则f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
即：a＞-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令g（x）=-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{2lnx+1}{{x}^{3}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{e}}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{e}}{e}$，
∴函数g（x）在（0，$\frac{\sqrt{e}}{e}$）递减，在（$\frac{\sqrt{e}}{e}$，+∞）递增，
∴g（x）_最小值=g（$\frac{\sqrt{e}}{e}$）=-$\frac{e}{2}$，
∴a＞-$\frac{e}{2}$．

点评 本题考查了曲线的切线方程，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．