Question

（2006•西城区二模）在数列{a_n}中，a₁=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求证：在数列{a_n}中对于任意的n∈N^*，都有a_n+1＜a_n；
（3）设cn=(

2

)bn，试问数列{c_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的定义，证明b_n+1-b_n为常数即可；
（2）确定数列{a_n}的通项公式，作差比较，即可得到结论；
（3）利用反证法，假设在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）项成等差数列，从而得出矛盾．

解答：（1）证明：bn+1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=2，
所以数列{b_n}是首项b1=

2

2a1-1

=2，公差为2的等差数列；
（2）证明：由（1）知b_n=2n，n∈N^*，
所以an=

n+1

2n

=

1

2

(1+

1

n

)，an+1=

1

2

(1+

1

n+1

)，
所以an+1-an=

1

2

(1+

1

n

)-

1

2

(1+

1

n+1

)=

1

2

(

1

n+1

-

1

n

)＜0．
即：对任意的n∈N^*，a_n+1＜a_n
（3）解：由（2）知，cn=(

2

)2n=2n，
假设在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）项成等差数列，
则：2•2^P=2^m+2^q，∴2^p+1=2^m+2^q，∴2^p+1-m=2^q-m+1，
因为m，p，q∈N^*
所以2^p+1-m为偶数，2^q-m+1为奇数，两者不可能相等，即假设不成立，
所以在数列{c_n}中不存在三项可以构成等差数列．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项，考查反证法的运用，属于中档题．