分析:(1)本题已知数列前n项和的表达式,求通项通常用a
n=S
n-S
n-1,求通项,再验证n=1时,是否适合所求的通式,若符合就写成统一式,否则,写成分段的形式;
(2)假设存在这样的等比数列{b
n},使 a
1b
1+a
2b
2+…+a
nb
n=(2n-1)•2
n+1+2 对一切正整数n都成立,故可先研究前两项,找出规律,提出猜想,再进行证明得出结论;
(3)由(1),将a
n=2n+1代入,求出C
n的表达式,再所其形式求出列{C
n}的前n项和为T
n,由和的形式与
的比较即可得到它们的大小关系.
解答:解:(1)由S
n=
an2+
a
n-
得S
n+1=
an+12+an+1-,
相减并整理得 (a
n+1+a
n)(a
n+1-a
n-2)=0
又由于a
n+1+a
n>0,则a
n+1=a
n+2,故{a
n}是等差数列.
∵
a1=S1=a12+
a
12-
>0,所以a
1=3
故a
n=2n+1 …4分
(2)当n=1,2时,a
1b
1=2
2(2×1-1)+2=6,
a
1b
1+a
2b
2=2
3(2×2-1)+2=26,可解得b
1=2,b
2=4,猜想b
n=2
n,使a
1b
1+a
2b
2+…
+a
nb
n=2
n+1(2n-1)+2成立.
证明:3•2+5•2
2+7•2
3+…+(2n+1)2
n=2
n+1(2n-1)+2恒成立.
令S=3•2+5•2
2+7•2
3+…+(2n+1)2
n ①
2S=3•2
2+5•2
3+7•2
4+…+(2n+1)2
n+1 ②
②-①得:S=(2n+1)2
n+1-2•2
n+1+2=(2n-1)2
n+1+2,
故存在等比数列{b
n}符合题意…8分
(3)C
n=
<
=
(
-)
则T
n=c
1+c
2+…+c
n<(
-+-+…+
-)=
(
-
)<
故
Tn<…12分
点评:本题考查数列与不等式的综合,考查了数列递推式的应用,错位相减法求和的技巧放缩法证明不等式,解题的关键是熟练掌握错位相减法的技巧,放缩法的技巧,本题中第二问先研究前两项得出规律,提出猜想,再进行证明是研究规律不明显的问题时常用的思路,第三问中用到了放大的技巧,要注意不要放得过大,放缩法证明不等式技巧性很强,需要有有较高的观察能力与判断能力,既要放,又不能放得过了头,谨记