Question

20.设A、B是双曲线x²－=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.

（Ⅰ）求直线AB的方程；

（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

20.

解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=k（x－1）+2，

 

代入x²－=1，整理得（2－k²）x²－2k（2－k）x－（2－k）²－2=0.　①

 

记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两个不同的根，所以2－k²≠0，

 

且x₁+x₂=.

 

由N（1，2）是AB的中点得（x₁+x₂）=1，

∴k（2－k）=2－k²，

解得k=1，所以直线AB的方程为y=x+1.

 

（Ⅱ）将k=1代入方程①得x²－2x－3=0，

解出x₁=－1，x₂=3.

由y=x+1得y₁=0，y₂=4.即A、B的坐标分别为（－1，0）和（3，4）.

由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y=－（x－1）+2，即y=3－x.

代入双曲线方程，整理得x²+6x－11=0.　②

记C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），以及CD的中点为M（x₀，y₀），则x₃，x₄是方程②的两个根.

所以x₃+x₄=－6，x₃x₄=－11.

 

从而x₀=（x₃+x₄）=－3，y₀=3－x₀=6.

 

|CD|=

=

=.

∴|MC|=|MD|=|CD|=2.

又|MA|=|MB|=

==2.

即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.