Question

已知p：2x2-9x+a＜0，q：

x2-4x+3＜0 x2-6x+8＜0

，且q是p的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：解不等式组可得q：2＜x＜3，由q是p的充分条件可得当x∈（2，3）时，2x²-9x+a＜0恒成立，构造函数f（x）=2x²-9x+a，由其性质可得

f(2)≤0 f(3)≤0

，解之即可．

解答：解析：由不等式x²-4x+3＜0解得1＜x＜3，由x²-6x+8＜0可解得2＜x＜4，
取交集可得2＜x＜3，即q：2＜x＜3，…（2分）
∵q是p的充分条件，∴x∈（2，3）时，2x²-9x+a＜0恒成立…（4分）
记f（x）=2x²-9x+a，其图象是一个开口向上的抛物线，对称轴为x=

9

4

…（6分）
故只需

f(2)≤0 f(3)≤0

，即

8-18+a≤0 18-27+a≤0

…（10分）
解得a≤9，即a的取值范围是（-∞，9]…（12分）

点评：本题以充要条件为载体，考查二次函数的恒成立问题，正确处理二次函数问题是解决问题的关键，属基础题．