Question

如图正方形ABCD和四边形ADEF所在的平面垂直，FA⊥AD，DE∥FA，且AD=DE=

1

2

AF=1，G是FC的中点．
（1）求证：EG⊥平面ACF；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）取AF中点H，连接GH，EH，由正方形ABCD和四边形ADEF所在的平面垂直，FA⊥AD，DE∥FA，且AD=DE=

1

2

AF=1，G是FC的中点，得到EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，CE=EF=AC=

2

，GH=

2

2

，故EG⊥CF，再由EG²+GH²=EH²，知EG⊥GH，由此能够证明EG⊥平面ACF．
（2）连接FD，则多面体ABCDEF的体积：V_ABCDEF=V_F-CDE+V_F-ABCD，由V_F-CDE=

1

3

×AD×S△CDE，V_F-ABCD=

1

3

×AF×S正方形ABCD，能求出多面体ABCDEF的体积．

解答：解：（1）取AF中点H，连接GH，EH，
∵正方形ABCD和四边形ADEF所在的平面垂直，
FA⊥AD，DE∥FA，且AD=DE=

1

2

AF=1，G是FC的中点，
∴EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，
∴CE=EF=AC=

1+1

=

2

，GH=

1

2

AC=

2

2

，
∴EG⊥CF，
∵FC=

AF2+AC2

=

4+2

=

6

，
∴EG=

EF2-FG2

=

2- 3 2

=

2

2

，
∵EH=1，∴EG²+GH²=EH²，
∴EG⊥GH，
又∵CF∩GH=G，
∴EG⊥平面ACF．
（2）连接FD，则多面体ABCDEF的体积：
V_ABCDEF=V_F-CDE+V_F-ABCD
=

1

3

×AD×S△CDE+

1

3

×AF×S正方形ABCD
=

1

3

×1×

1

2

×1×1+

1

3

×2×12
=

1

6

+

2

3

=

5

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查多面体体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意中位线、勾股定理、等积法等知识点的合理运用．