Question

已知两定点E（-2，0），F（2，0），动点P满足，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A、B两点，点N满足（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出点P的轨迹方程，再利用PM⊥x轴，点M满足，确定P，M坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）求得四边形OANB为平行四边形，则S_OANB=2S_△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵动点P满足，∴点P的轨迹是以EF为直径的圆
∵E（-2，0），F（2，0），
∴点P的轨迹方程x²+y²=4
设M（x，y）是曲线C上任一点，∵PM⊥x轴，点M满足，
∴P（x，2y）
∵点P的轨迹方程x²+y²=4
∴x²+4y²=4
∴求曲线C的方程是；
（Ⅱ）∵，∴四边形OANB为平行四边形
当直线l的斜率不存在时，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx-2，l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线方程代入椭圆方程，可得（1+4k²）x²-16kx+12=0
∴x₁+x₂=，
由△=256k²-48（1+4k²）＞0，可得或
∵|x₁-x₂|=|x₁-x₂|
∴S_OANB=2S_△OAB=2|x₁-x₂|==8
令k²=t，则，当t＞，即4t-3＞0时，由基本不等式，可得≥13，当且仅当，即t=时，取等号，此时满足△＞0
∴t=时，取得最小值
∴k=时，四边形OANB面积的最大值为
所求直线l的方程为和．
点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．