Question

设函数，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函数f（x）的解析式； 
（2）画出函数f（x）的图象，并指出函数f（x）的单调区间．
（3）若方程f（x）=k有两个不等的实数根，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1，能推导出b=4，c=3．由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=，知：当x＜0时，f（x）的图象是开口向上，对称轴为x=-2的抛物线，当x≥0时，f（x）的图象是一条直线，由此能求出f（x）的图象．
（3）由方程f（x）=k有两个不等的实数根，知x²+4x+3=k（x＜0）有两个不等的实数根，由此能求出k的取值范围．
解答：解：（1）∵函数，
且f（-4）=f（0），f（-2）=-1，
∴，解得b=4，c=3．
∴f（x）=．
（2）∵f（x）=，
∴当x＜0时，f（x）的图象是开口向上，对称轴为x=-2的抛物线，
当x≥0时，f（x）的图象是一条直线．
列表

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	…
f（x）	…	3	0	-1		3	2	…

描点，连线，得到f（x）的图象：

（3）∵方程f（x）=k有两个不等的实数根，
∴x²+4x+3=k（x＜0）有两个不等的实数根，
∴，
解得-．
故k的取值范围是（-，3）．
点评：本题考果函数的解析式的求法，考查函数的图象的作法，考查实数的取值范围的求法．易错点是容易忽视f（x）=k两个根都小于零的情况．