Question

已知f（x）=ae^-x+cosx-x（0＜x＜1）
（1）若对任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•e^x，记g（x）=（x-cosx）•e^x，求出g（x）的导数，利用导数判断g（x）在（0，1）的单调性，再由函数的单调性进行求解．
（2）构造函数h（x）=（0＜x＜1），且h（0）=0，求出h（x）的导数，再由导数判断h（x）在（0，1）上的单调性，再借助函数的单调性进行求解．
解答：解：（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•e^x，
记g（x）=（x-cosx）•e^x，
则g′（x）=（1+sinx）•e^x+（x-cosx）•e^x
=（1+sinx-cosx+x）•e^x，
∵0＜x＜1，
∴sinx＞0，1-cosx＞0，e^x＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上为增函数．
∴-1＜g（x）＜（1-cos1）•e，故a≤-1．

（2）构造函数h（x）=（0＜x＜1），且h（0）=0，
则h′（x）=-e^-x+cosx-x，
由（1）知：当a=-1时，f（x）=-e^-x+cosx-x＜0（0＜x＜1），
∴h（x）在（0，1）单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，
即．
点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意导数的应用，掌握构造法在解题中的合理运用．