Question

如图所示f_i（x）（i=1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质“对?x₁，x₂∈[0，1]，?λ∈[0，1]，f[λx₁+（1-λ）x₂]≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）恒成立”的有

（1）

．

Answer 1

分析：由题设对[0，1]中任意的x₁和x₂，任意λ∈[0，1]，f[λx₁+（1-λ）x₂]≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）恒成立，知，此函数必为一凸函数，依据凸函数的图象特征进行判断即可．

解答：解：由题意，观察四个选项：（1）中的图象先降后升是一凸函数，（2）中的函数是先升后降是一凹函数，（3）中的图象中列出了一部分，不合定义域，（4）中的函数图象凸、凹函数各一部分．
考察定义：对[0，1]中任意的x₁和x₂，任意λ∈[0，1]，f[λx₁+（1-λ）x₂]≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）恒成立知，此函数在[0，1]是凸函数，由上分析知只有（1）符合题意．
 故答案为：（1）

点评：本题的考点是函数的图象，考查函数图象的变化规律，在本题中给出了一个新定义，对于新定义的题型，要认真研究其运算特征，充分理解其内涵再依据新规则做题．