Question

17．在数列{a_n}中，已知a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{na}_{n}}{（n+1）（{na}_{n}+1）}$（n∈N^*），则数列{a_n}的前2015项的和为$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{{na}_{n}}{（n+1）（{na}_{n}+1）}$（n∈N^*）两边同时取倒数、整理可知数列{$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2为首项、1为公差的等差数列，通过裂项可知a_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：依题意，a_n＞0，
∵a_n+1=$\frac{{na}_{n}}{（n+1）（{na}_{n}+1）}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）（n{a}_{n}+1）}{n{a}_{n}}$=n+1+$\frac{n+1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{n+1}$•$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+n-1=n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n（n+1），
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴数列{a_n}的前2015项的和为：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．