Question

在斜四棱柱中，已知底面是边长为4的菱形，，且点在面上的射影是底面对角线与AC的交点O，设点E是的中点，．         

   （Ⅰ） 求证：四边形是矩形；

   （Ⅱ） 求二面角的大小；

   （Ⅲ） 求四面体的体积．

Answer 1

（1）证明略（2）二面角E─BD─C的大小为（3）

解析:

解法一：（Ⅰ） 连接． 因为四边形为菱形，

所以,又面，

所以． 而，所以．

因为四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．   4分

   （Ⅱ） 连接OE，因为,所以平面，

∴ ,即为二面角E──C的平面角．

在菱形中，

又E是的中点，．所以．

在△中，,

∴ ，,

所以在△中，有，即二面角E─BD─C的大小为．  9分

   （Ⅲ） 设点D到平面的距离为h，则有．

因为是的中点，所以

  14分

解法二：（Ⅰ） 连结AC、BD相交于O，连结．

由已知，有AC⊥BD，⊥面ABCD，故可建立空间直角坐标系，

且以下各点的坐标分别为：

，  1分

设,

，

 ． 3分

又, 四边形为平行四边形．

是矩形． 4分

   （Ⅱ） 设,则．

， 由 可求得          

∴．

设为平面EBD的法向量，

则由，得

可取 ,

 ．     6分

平面平面BDC的法向量为，

而 ． 

∴ 二面角E─BD─C的大小为． 9分

   （Ⅲ） 设为平面的法向量，

则由 ,

得          

∴ 可取，．

到平面的距离 ．  11分

而，又由（Ⅰ）知， ，