Question

设f（x）定义在R且x不为零的偶函数，在区间（-∞，0）上递增，f（xy）=f（x）+f（y），当a满足f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．且a
D．

Answer 1

【答案】分析：先根据已知条件把f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）转化为f[（2a+1）3a]＞f（-a+1）；进而得到f（|3a（2a+1）|）＞f（|-a+1|）再结合其单调性推出|3a（2a+1）|＜|-a+1|，平方解不等式即可求出答案．
解答：解：由f（xy）=f（x）+f（y）⇒f（1×1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；
∴f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）
⇒f（2a+1）+f（3a）＞f（-a+1）
⇒f[（2a+1）3a]＞f（-a+1）；①
∵f（x）定义在R且x不为零的偶函数；
∴①转化为f（|3a（2a+1）|）＞f（|-a+1|）②
∵函数在区间（-∞，0）上递增，
∴函数在区间（0，+∞）上递增，
∴②转化为|3a（2a+1）|＜|-a+1|⇒[3a（2a+1）]²＜（-a+1）²⇒[3a（2a+1）-（-a+1）][3a（2a+1）+（-a+1）]＜0⇒（6a²+2a+1）（6a²+4a-1）＜0；
∵6a²+2a+1=6（a+）²+＞0恒成立；
而6a²+4a-1=6（a-）（a+）＜0⇒＜a＜；
∵定义域内不含0，
∴2a+1≠0且1-a≠0且3a≠0；
故a≠-且a≠0且a≠1．
∴满足条件的a的取值范围是：＜a＜且a≠0且a≠-．
故选：C．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及抽象函数的应用．解决本题的关键在于把f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）转化为f[（2a+1）3a]＞f（-a+1）．