Question

5．设函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（a{x^2}+2x-1）$，$g（x）=\frac{{2+2sin（2x+\frac{π}{6}）}}{{sinx+\sqrt{3}cosx}}$，若不论x₂取何值，f（x₁）＞g（x₂）对任意${x_1}∈[\frac{7}{10}，\frac{3}{2}]$总是恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，-\frac{7}{10}）$
• B． $（-∞，-\frac{4}{5}）$
• C． $（-\frac{63}{80}，+∞）$
• D． $（-\frac{40}{49}，-\frac{4}{5}）$

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简得g（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤2，依题意可得f（x₁）_min＞g（x₂）_max=2，即当$\frac{7}{10}$≤x≤$\frac{3}{2}$时，0＜ax²+2x-1＜$\frac{1}{4}$恒成立，通过分类讨论，即可求得a的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（a{x^2}+2x-1）$，$g（x）=\frac{{2+2sin（2x+\frac{π}{6}）}}{{sinx+\sqrt{3}cosx}}$=$\frac{2+2cos[\frac{π}{2}-（2x+\frac{π}{6}）]}{2（\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx）}$
=$\frac{2-2cos（2x+\frac{2π}{3}）}{2sin（x+\frac{π}{3}）}$=$\frac{{2sin}^{2}（x+\frac{π}{3}）}{sin（x+\frac{π}{3}）}$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤2，即g（x）_max=2，
因为不论x₂取何值，f（x₁）＞g（x₂）对任意${x_1}∈[\frac{7}{10}，\frac{3}{2}]$总是恒成立，
所以f（x₁）_min＞g（x₂）_max，
即对任意$x∈[\frac{7}{10}，\frac{3}{2}]$，$lo{g}_{\frac{1}{2}}（a{x}^{2}+2x-1）$＞2恒成立，
即当$\frac{7}{10}$≤x≤$\frac{3}{2}$时，0＜ax²+2x-1＜$\frac{1}{4}$恒成立，
1°由ax²+2x-1＜$\frac{1}{4}$得：ax²＜$\frac{5}{4}$-2x，即a＜$\frac{5}{{4x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{5}{4}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{5}$）²-$\frac{4}{5}$，
令h（x）=$\frac{5}{4}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{5}$）²-$\frac{4}{5}$，
因为$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{x}$≤$\frac{10}{7}$，
所以，当$\frac{1}{x}$=$\frac{4}{5}$时，[h（x）]_min=-$\frac{4}{5}$，故a＜-$\frac{4}{5}$；
2°由0＜ax²+2x-1得：a＞${（\frac{1}{x}）}^{2}$-$\frac{2}{x}$，
令t（x）=${（\frac{1}{x}）}^{2}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
因为$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{x}$≤$\frac{10}{7}$，
所以，当x=$\frac{3}{2}$即$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{3}$时，t（$\frac{3}{2}$）=（$\frac{2}{3}$-1）²-1=-$\frac{8}{9}$；
当x=$\frac{7}{10}$，即$\frac{1}{x}$=$\frac{10}{7}$时，t（$\frac{7}{10}$）=（$\frac{10}{7}$-1）²-1=-$\frac{40}{49}$，显然，-$\frac{40}{49}$＞-$\frac{8}{9}$，
即[t（x）]_max=-$\frac{40}{49}$，故a＞-$\frac{40}{49}$；
综合1°2°知，-$\frac{40}{49}$＜a＜-$\frac{4}{5}$，
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题，求得g（x）_max=2是关键，考查等价转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查推理运算能力，属于难题．