Question

已知函数
（1）求f（x）在[，2]上的最大值和最小值；（参考数据：ln2≈0.7）
（2）求证：ln；
（3）求证：对大于1的任意正整数n，都有 lnn+++…+．

Answer 1

（1）解：求导函数，可得
∴x∈[，1]时，f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，函数单调递增
∴f（x）在[，2]上有唯一极小值点，且为最小值点，最小值为f（1）=0
∵，
∴=＞0
∴
∴f（x）在[，2]上的最大值为1-ln2；
（2）证明：当a=1时，f（x）=+lnx，f′（x）=，
故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（）=+ln=-+ln＞0，即ln＞；
（3）证明：由（2）知，ln＞，ln＞，…，ln＞
∴ln+ln+…+ln＞++…+
∴lnn＞++…+
即对大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．
分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可求得结论；
（2）先判断函数f（x）的单调性，令x=代入函数f（x）根据单调性，即可得到不等式ln＞，
（3）由（2）令n=1，2，…代入可证．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查函数的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．