Question

8．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ+1=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数）．
（Ⅰ）求直线L和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点Q，使得Q到直线L的距离最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线L的普通方程，由cos²α+sin²α=1，能求出曲线C的普通方程．
（Ⅱ）设Q（5+cosα，sinα），求出Q到直线L的距离，由此利用三角函数性质能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵直线L：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ+1=0，
∴直线L的普通方程为：$x-\sqrt{3}y+1=0$，
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的普通方程为（x-5）²+y²=1．…（5分）
（Ⅱ）设Q（5+cosα，sinα），Q到直线L的距离：
$d=\frac{{|5+cosα-\sqrt{3}sinα+1|}}{2}=3-（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα）=3-sin（α-\frac{π}{6}）$，
当$sin（α-\frac{π}{6}）=1$时，即$α=\frac{2π}{3}$，d_min=2
此时点Q坐标为$Q（\frac{9}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$…（10分）

点评 本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查点到直线距离的最小值的求法，是基础题，解题时要注意公式ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，cos²α+sin²α=1的合理运用．