Question

一位牧民计划用篱笆为他的马群围一个面积为1600米²的矩形牧场，由于受自然环境的限制，矩形的一边不能超过a米，求用最少篱笆围成牧场后矩形的长和宽．

Answer 1

分析：假设矩形的一边长，利用面积求出另一边长，从而可表示出矩形的周长，对a进行分类讨论，利用函数的单调性，即可求出用最少篱笆围成牧场后矩形的长和宽．

解答：解：设矩形的一边长为xm（x≤a），则矩形的另一边长为

1600

x

m
则矩形的周长为y=2(x+

1600

x

)
当a＜40时，y′=2(1-

1600

x2

)＜0，函数在（0，a]上为单调减函数，所以，x=a时，矩形的周长最小，此时矩形的长和宽分别为：am，

1600

a

m；
当a≥40时，函数在（0，40]上为单调减函数，在[40，a]上为单调增函数，所以x=40时，矩形的周长最小，此时矩形的长和宽分别为：40m，40m．

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查函数最值的研究，解题的关键是构建函数，正确分类讨论．